Question

7．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₃=b₃=a，a₆=b₆=b，若a＞b，则下列正确的是（　　）

• A． 若ab＞0，则a₄＞b₄
• B． 若a₄＞b₄，则ab＞0
• C． 若ab＜0，则（a₄-b₄）（a₅-b₅）＜0
• D． 若（a₄-b₄）（a₅-b₅）＜0，则ab＜0

Answer 1

分析 利用a₃=b₃=a，a₆=b₆=b，求出公差、公比，利用数列的通项和三元均值不等式，通过取特殊值，即可得出结论．

解答 解：设数列{a_n}，{b_n}的公差、公比分别是d，q，则
∵a₃=b₃=a，a₆=b₆=b，
∴a+3d=b，aq³=b，
∴d=$\frac{b-a}{3}$，q=$（\frac{b}{a}）^{\frac{1}{3}}$，
即有a₄-b₄=a+d-aq=$\frac{b+2a}{3}$-a•$（\frac{b}{a}）^{\frac{1}{3}}$，
a₅-b₅=a+2d-aq²=$\frac{2b+a}{3}$-a•$（\frac{b}{a}）^{\frac{2}{3}}$，
当a，b＞0时，有$\frac{b+a+a}{3}$＞${b}^{\frac{1}{3}}$•${a}^{\frac{1}{3}}$•${a}^{\frac{1}{3}}$，即a₄＞b₄，
若a，b＜0，则a₄＜b₄，
当a，b＞0时，有$\frac{b+b+a}{3}$＞${b}^{\frac{1}{3}}$•${b}^{\frac{1}{3}}$•${a}^{\frac{1}{3}}$，即a₅＞b₅，
若a，b＜0，则a₅＜b₅，
当ab＜0时，可取a=8，b=-1，
计算a₄=5，b₄=-4，a₅=2，b₅=2，
即有a₄＞b₄，a₅=b₅，
故A，B，C均错，D正确．
故选D．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查均值不等式的运用，以及推理能力，属于中档题．