Question

18．（1）已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d≠0，a³+b³=c³+d³．求证：（a-c）（a-d）=0；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$=b，$\frac{2{b}^{2}}{1+{b}^{2}}$=c，$\frac{2{c}^{2}}{1+{c}^{2}}$=a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用a³+b³=c³+d³，证明ab=cd，进而证明a-b=c-d或b-a=c-d，即可证明：（a-c）（a-d）=0；
（2）利用条件证明△ABC是边长为1的等边三角形，即可求△ABC的面积．

解答 （1）证明：∵a³+b³=c³+d³，
∴（a+b）（a²-ab+b²）=（c+d）（c²-cd+d²），
∵a+b=c+d≠0，①
∴a²-ab+b²=c²-cd+d²，
∴（a+b）²-3ab=（c+d）²-3cd，
∴ab=cd，
∴（a-b）²=（c-d）²，
∴a-b=c-d或b-a=c-d②，
由①②可得a=c或a=d，
∴（a-c）（a-d）=0；
（2）解：∵$\frac{2{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$=b，∴$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{a}^{2}}$+1），∴$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{b}$+1=0①
同理：$\frac{1}{{c}^{2}}-\frac{2}{a}+1=0$②，$\frac{1}{{b}^{2}}-\frac{2}{c}+1=0$③．
①+②+③整理得：（1-$\frac{1}{a}$）²+（1-$\frac{1}{b}$）²+（1-$\frac{1}{c}$）²=0，
∴a=b=c=1，
∴△ABC是边长为1的等边三角形，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}absin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 不同课程等式的证明，考查解三角形，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．