Question

6．已知sinα=$\frac{1}{2}$-cosα，则$\frac{cos2α}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$的值为-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

Answer 1

分析 已知可化为sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，由三角函数公式可得$\frac{cos2α}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$=-$\sqrt{2}$（sinα+cosα），代值计算可得．

解答 解：$\frac{cos2α}{{sin（α-\frac{π}{4}）}}$=$\frac{co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}{sinα•\frac{\sqrt{2}}{2}-cosα•\frac{\sqrt{2}}{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}（cosα+sinα）（cosα-sinα）}{sinα-cosα}$
=-$\sqrt{2}$（sinα+cosα），
∵sinα=$\frac{1}{2}$-cosα，
∴sinα+cosα=$\frac{1}{2}$，
∴原式=-$\sqrt{2}$（sinα+cosα）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和和差角的三角函数，属基础题．