Question

2．设x＞0，且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值，并指出取等号时x，y的取值．

Answer 1

分析 由于x＞0且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，变形再利用均值不等式即可得出．

解答 解：∵x＞0且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2{x}^{2}（1+{y}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{（\frac{2{x}^{2}+1+{y}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
当且仅当2x²=1+y²，并且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1时，上式取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴表达式的最大值为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．此时x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=0．

点评 本题考查了函数的变形利用基本不等式在求最值值的应用，属于中档题．