Question

13．已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）证明：当x＞0时，$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$．．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{x}$，（x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而证出结论即可．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞）．
因为f′（x）=lnx+1，
令f′（x）=0，即x=$\frac{1}{e}$，
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，f′（x）＜0；当x＞$\frac{1}{e}$时，f′（x）＞0，
所以f（x）的单调递减区间为（0，$\frac{1}{e}$），单调递增区间为（$\frac{1}{e}$，+∞）．
（2）证明：由（1）得：f（x）=xlnx在最小值是-$\frac{1}{e}$，
当且仅当x=$\frac{1}{e}$时取得，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{x}$，（x＞0），则g′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，x＞0，
当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在最大值是g（1）=-$\frac{1}{e}$，
当且仅当x=1时取得，
故原不等式成立．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．