Question

17．已知等腰三角形底角的余弦值为$\frac{1}{3}$，则顶角的余弦值是$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 设底角为a，则顶角为π-2a，由已知cosa，结合sin²α+cos²α=1，求出sina，再由三角函数的诱导公式求出sin（π-2a），进一步求出顶角的余弦值得答案．

解答 解：设底角为a，则顶角为π-2a，由已知cosa=$\frac{1}{3}$，又sin²α+cos²α=1，
得sina=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（由于a＜$\frac{π}{2}$舍去sina=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
∴sin（π-2a）=sin2a=2sinacosa=$2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴cos（π-2a）=$\sqrt{1-（\frac{4\sqrt{2}}{9}）^{2}}=\frac{7}{9}$．
则顶角的余弦值是：$\frac{7}{9}$．
故答案为：$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题．