Question

2．已知命题P：函数f（x）=lg（x²-ax+1）的定义域为R；命题q：?m∈[-2，3]，使不等式a²-5a+5≥$\sqrt{{m}^{2}+1}$成立．
（1）若命题p是真命题，求实数a的取值范围．
（2）若命题￢q是真命题，求实数a的取值范围．
（3）如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若命题p是真命题，转化为判别式△＜0，解不等式即可求实数a的取值范围．
（2）若命题￢q是真命题，转化为不等式恒成立，即可求实数a的取值范围．
（3）如果命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，建立不等式关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x） 的定义域为R⇒x²-ax+1＞0对一切实数x恒成立⇒△=（-a）²-4＜0⇒-2＜a＜2，
故命题p是真命题时，实数a的取值范围是（-2，2）；
（2）若命题￢q为真，则?m∈[-2，3]，使a²-5a+5＜$\sqrt{{m}^{2}+1}$恒成立．因为m∈[-2，3]，
所以$\sqrt{{m}^{2}+1}$∈[1，$\sqrt{10}$]，满足a²-5a+5＜1，
解得1＜a＜4．故实数a的取值范围是（1，4）．
（3）命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p，q一真一假．
①当p真q假时，可得$\left\{{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{1＜a＜4}\end{array}}\right.$⇒1＜a＜2；
②当p假q真时，可得$\left\{\begin{array}{l}{a≥0或a≤-2}\\{a≥4或a≤1}\end{array}\right.$，解得a≤-2或a≥4．
综合①②可得a的取值范围是（-∞，-2]∪（1，2）∪[4，+∞）．

点评 本题主要考查命题的真假应用，根据复合命题真假之间的关系进行转化是解决本题的关键．