Question

17．如图，已知直线与抛物线y²=2px（p＞0）交于A、B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为（2，1）．
（1）求AB直线方程；
（2）求p的值．

Answer 1

分析 （1）由D的坐标求出OD所在直线的斜率，进一步得到AB所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案；
（2）设出A，B的坐标，由OA⊥OB得到A，B横纵坐标的关系，联立直线方程和抛物线方程，化为关于y的方程后利用根与系数的关系求解．

解答 解：（1）∵点D的坐标为（2，1），∴${k}_{OD}=\frac{1}{2}$，
又AB⊥OD，且AB过D（2，1），
∴AB：y-1=-2（x-2），整理得：2x+y-5=0；
（2）设点A的坐标（x₁，y₁），点B的坐标（x₂，y₂），
由OA⊥OB得：x₁x₂+y₁y₂=0，
由（1）知AB的直线方程为y=-2x+5
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，①
联立y=-2x+5与y²=2px，消去x得：y²+py-5p=0，
y₁+y₂=-p，y₁y₂=-5p，②
把②代入解得$p=\frac{5}{4}$，经检验$p=\frac{5}{4}$满足△＞0．
∴p=$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生的基础知识的综合运用和知识迁移的能力．是中档题．