Question

12．设F₁（-c，0），F₂（c，0）分别是椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求证：|AB|=$\frac{4}{3}$a；
（Ⅱ）求椭圆的离心率；
（Ⅲ）设点P（0，-1）满足$（{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}）•\overrightarrow{AB}$=0，求E的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等差数列的性质，结合椭圆的定义，即可证得结论；
（Ⅱ）设l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0（*），利用韦达定理可得$\frac{4}{3}$a=$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$•a，可得b=c，再由离心率公式可得； 
（Ⅲ）由（Ⅱ）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0，根据$（{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}）•\overrightarrow{AB}$=0，可得|PA|=|PB|，知PM为AB的中垂线，可得k_PM=-1，从而可求b=3，进而可求椭圆C的方程．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，
由椭圆定义可得，|AB|+|AF₂|+|BF₂|=4a，即3|AB|=4a，
则|AB|=$\frac{4}{3}$a．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），l：x=y-c，
代入椭圆C的方程，整理得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0，（*）
则|AB|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=2（y₁-y₂）²=2[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=2[（$\frac{2{b}^{2}c}{{a}^{2}+{b}^{2}}$）²+$\frac{4{b}^{4}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$]=$\frac{2×4{b}^{4}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}$[c²+a²+b²]=$\frac{8{b}^{4}}{（{a}^{2}+{b}^{2}）^{2}}$•2a²，
于是有$\frac{4}{3}$a=$\frac{4{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$•a，
化简得a=$\sqrt{2}$b，即b=c，即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（Ⅲ）由$（{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}）•\overrightarrow{AB}$=0，可得（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）•（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$）=0，
即有$\overrightarrow{PB}$²=$\overrightarrow{PA}$²，即|PA|=|PB|，
由（Ⅱ）有b=c，方程（*）可化为3y²-2by-b²=0，
设AB中点为M（x₀，y₀），则y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{3}$b，
又M∈l，于是x₀=y₀-c=-$\frac{2}{3}$b，
由|PA|=|PB|，知PM为AB的中垂线，k_PM=-1，
由P（0，-1），得-1=$\frac{\frac{b}{3}+1}{-\frac{2}{3}b}$，解得b=3，a²=18，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题重点考查椭圆的标准方程，考查等差数列的性质，考查两点间的距离公式，解题的关键是利用点P（0，-1）在线段AB的垂直平分线上，求得斜率为-1．