Question

4．已知△ABC的三个内角A，B，C满足sin（180°-A）=$\sqrt{2}$cos（B-90°），$\sqrt{3}$cosA=-$\sqrt{2}$cos（180°+B），求角A，B，C的大小．

Answer 1

分析 由sin（180°-A）=$\sqrt{2}$cos（B-90°），化为sinA=$\sqrt{2}$sinB．$\sqrt{3}$cosA=-$\sqrt{2}$cos（180°+B），可得$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，利用平方关系可得：cos²A=$\frac{1}{2}$，由已知可得A，B都为锐角，可得A．又由$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，可得B，C=π-$\frac{π}{4}$$-\frac{π}{6}$．

解答 解：∵sin（180°-A）=$\sqrt{2}$cos（B-90°），∴sinA=$\sqrt{2}$sinB，①
∵$\sqrt{3}$cosA=-$\sqrt{2}$cos（180°+B），∴$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，②
∴①²+②²可得：cos²A=$\frac{1}{2}$，∴$cosA=±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵A∈（0，π），由②可知：cosA与cosB同号．
因此A，B都为锐角，
∴cosA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
A=$\frac{π}{4}$．
又由$\sqrt{3}$cosA=$\sqrt{2}$cosB，
∴cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$．
∴C=π-$\frac{π}{4}$$-\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{12}$．
∴A=$\frac{π}{4}$，B=$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{12}$．

点评 本题考查了同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．