Question

19．下列四个命题：
（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上也单调递增，所以f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是增函数；
（2）若函数f（x）=ax²+bx+2与x轴没有交点，则b²-8a＜0；
（3）符合条件{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A有4个；
（4）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{4x+1（x≤0）}\end{array}\right.$有3个零点．
其中正确命题的序号是（3）（4）．

Answer 1

分析 举例说明（1）（2）错误；求出满足{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A判断（3）；
要求f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{4x+1（x≤0）}\end{array}\right.$的零点个数，只要分别判断函数h（x）=lnx-x²+2x（x＞0），与g（x）=4x+1（x≤0）的零点个数，再求和即可．

解答 解：对于（1），函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上也单调递增，但f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上不一定是增函数，
如f（x）=-$\frac{1}{x}$，故（1）错误；
对于（2），当a=b=0时，函数f（x）=ax²+bx+2=2，与x轴没有交点，b²-8a=0，故（2）错误；
对于（3），符合条件{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A有{1}，{1，2}，
{1，3}，{1，2，3}共4个，故（3）正确；
对于（4），由f（x）=0可得lnx-x²+2x=0（x＞0），或4x+1=0（x≤0）．
由4x+1=0得x=-$\frac{1}{4}$，故g（x）=4x+1（x≤0）的零点个数为1，
由lnx-x²+2x=0得lnx=x²-2x，令y=lnx，y=x²-2x（x＞0），
作出函数y=lnx，y=x²-2x（x＞0）的图象，结合函数的图象可知，y=lnx，y=x²-2x（x＞0）的图象有2个交点，
即函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{4x+1（x≤0）}\end{array}\right.$的零点个数是3，故（4）正确．
故答案为：（3）（4）．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数单调性的性质，训练了函数零点的判定方法，是中档题．