Question

10．下列几个命题
①奇函数的图象一定通过原点
②函数y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$是偶函数，但不是奇函数
③函数f（x）=a^x-1+3的图象一定过定点P，则P点的坐标是（1，4）
④若f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）=f（-x-1）
⑤若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2（x≤1）}\end{array}\right.$在R上的增函数，则实数a的取值范围为[4，8）
其中正确的命题序号为③⑤．

Answer 1

分析 ①若在原点无意义，则奇函数图象就不过原点；
②可整理为y=0；
③横过的含义为无论参数a取何值，函数都过某一点；
④利用偶函数的定义自变量x取相反数，函数值不变；
⑤分段函数要使在整个区间单调，则必须每个区间都有相同的单调性，且在临界处满足单调性．

解答 解：①奇函数的图象关于原点对称，若在原点有意义，则一定通过原点，故错误；
②函数y=$\sqrt{{x}^{2}-1}+\sqrt{1-{x}^{2}}$的定义域为{-1，1}，整理后y=0，即是偶函数，又是奇函数，故错误；
③a⁰=1，当x=1时，f（1）=4，函数f（x）=a^x-1+3的图象一定过定点P（1，4），故正确；
④若f（x+1）为偶函数，由偶函数定义可知f（-x+1）=f（x+1），故错误；
⑤若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}（x＞1）}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2（x≤1）}\end{array}\right.$在R上的增函数，
∴a＞1，且4-$\frac{a}{2}$＞0，f（1）≤a，
∴实数a的取值范围为[4，8）故正确；
故正确额序号为③⑤．

点评 考查了函数的奇偶性，分段函数的单调性问题．