Question

18．$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x+1\\;x＜1}\\{{a}^{x}\\;x≥1}\end{array}\right.$，满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，那么a的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （1，2]
• C． [2，3）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根据函数的定义进行判断函数的单调性，结合分段函数的单调性建立不等式关系即可．

解答 解：∵函数f（x）满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，
∴函数f（x）为增函数，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{3-a＞0}\\{3-a+1≤a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＜3}\\{a≥2}\end{array}\right.$，
解得2≤a＜3，
故选：C．

点评 本题主要考查函数分段函数的应用，根据函数单调性的定义判断函数的单调性是解决本题的关键．