Question

13．如图，△ABC的外接圆为⊙O，延长CB至Q，再延长QA至P，使得QC²-QA²=BC•QC．
（Ⅰ）求证：QA为⊙O的切线；
（Ⅱ）若AC恰好为∠BAP的平分线，AB=10，AC=15，求QA的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得QC•QB=QA²，即$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，可得△QCA∽△QAB，进而∠QAB=QCA，根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线；
（Ⅱ）根据弦切角定理可得AC=BC=15，结合（I）中结论，可得QC：QA=AC：AB=15：10，进而得到答案．

解答 证明：（Ⅰ）∵QC²-QA²=BC•QC，
∴QC（QC-BC）=QA²，
即QC•QB=QA²，
于是$\frac{QC}{QA}=\frac{QA}{QB}$，
∴△QCA∽△QAB，
∴∠QAB=QCA，
根据弦切角定理的逆定理可得QA为⊙O的切线，（5分）
解：（Ⅱ）∵QA为⊙O的切线，
∴∠PAC=∠ABC，而AC恰好为∠BAP的平分线，
∴∠BAC=∠ABC，
于是AC=BC=15，
∴QC²-QA²=15QC，①
又由△QCA∽△QAB得
QC：QA=AC：AB=15：10，②
联合①②消掉QC，得QA=18．（10分）

点评 本题考查的知识点是弦切角定理及其逆定理，圆的切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，难度中档．