Question

7．已知函数f（x）=x³-3a²x-6a²+4a（a＞0）有且仅有一个零点x₀，若x₀＞0，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （0，2）
• D． （0，1]

Answer 1

分析 先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围．

解答 解：令f'（x）=3x²-3a²=3（x-a）（x+a）=0，解得x₁=-a，x₂=a，
其中a＞0，所以函数的单调性和单调区间如下：
x∈（-∞，-a），f（x）递增；x∈（-a，a），f（x）递减；x∈（a，+∞），f（x）递增．
因此，f（x）在x=-a处取得极大值，在x=a处取得极小值，
结合函数图象，要使f（x）只有一个零点x₀，且x₀＞0，只需满足：
f（x）_极大值=f（-a）＜0，即-a³+3a³-6a²+4a＜0，
整理得a（a-1）（a-2）＜0，解得，a∈（1，2），
故选B．

点评 本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题．