Question

19．如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=2PO．
（1）求证PO⊥AC；
（2）求异面直线PA与OE所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由PO是圆锥的高，得PO⊥底面圆O，由此能证明PO⊥AC．
（2）由已知得∠BAC=45°，OE∥AC，从而异面直线PA与OE所成角即为∠PAC，由此能求出异面直线PA与OE所成角的大小．

解答 （1）证明：∵PO是圆锥的高，
∴PO⊥底面圆O，
又AC∈底面圆O，
∴PO⊥AC．
（2）解：∵C为半圆弧AB的中点，∴∠AOC=90°=∠BOC，
∴∠BAC=45°，
又∵E为劣弧CB的中点，
∴∠BOE=45°=∠BAC，∴OE∥AC，
∴异面直线PA与OE所成角即为∠PAC，
∵AB=2PO，又直径AB=2AO，∴PO=AO，
∵PO⊥底面圆O，∴PO⊥OC，即∠POC=90°=∠AOC，
∴△AOC≌△POC，∴AC=PC，
又∵圆锥母线PA=PC，∴△PAC为正三角形，
∴∠PAC=60°，
∴异面直线PA与OE所成角的大小为60°．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．