Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），则S_n-6a_n的最小值为（　　）

• A． -36
• B． -30
• C． -27
• D． -20

Answer 1

分析 a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），可得：a₂=3a₁，a₃=5a₁，a₄=7a₁=7，解得a₁，a₂，a₃，a₄，…，猜想a_n=2n-1．可得S_n=n²．验证满足4S_n=n（a_n+a_n+1），代入S_n-
6a_n，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a₄=7且4S_n=n（a_n+a_n+1），
可得：a₂=3a₁，a₃=5a₁，a₄=7a₁=7，
解得a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，…，
猜想a_n=2n-1．
可得S_n=n²．
验证满足4S_n=n（a_n+a_n+1），
∴S_n-6a_n=n²-6（2n-1）=n²-12n+6=（n-6）²-30≥-30，
当且仅当n=6时取等号，
∴S_n-6a_n的最小值为-30．
故选：B．

点评 本题考查了递推关系的应用、数列的通项公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．