Question

设函数f（x）=a-

2

2x+1

，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为单调函数，并说明是何种单调函数；
（2）试确定a的值，使f（x）的图象能关于原点对称并求此时f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=a-

2

2x+1

，知f（x）的定义域为R，利用定义法能够证明不论a为何实数f（x）总为单调递增函数．
（2）由f（x）的图象关于原点对称，知f（x）是奇函数，所以a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，解得f（x）=1-

2

2x+1

，由此能求出f（x）的值域．

解答：（1）证明：∵f（x）=a-

2

2x+1

，
∴f（x）的定义域为R，
在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0，（1+2x1）（1+2x2）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故不论a为何实数f（x）总为单调递增函数．
（2）解：∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴a-

2

2-x+1

=-a+

2

2x+1

，解得a=1．
∴f（x）=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-2＜-

2

2x+1

＜0，
∴-1＜f（x）＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题考查函数的单调性的证明，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，注意定义法和函数的奇偶性的合理运用．