Question

18．若对?x，y∈（0，+∞），不等式4xlna＜e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，则正实数a的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{1}{2}$e
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 设f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，原不等式恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．运用基本不等式和参数分离可得2lna≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$在x＞0时恒成立，令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．

解答 解：设f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，
不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．
即有f（x）=e^x-2（e^y+e^-y）+2≥2+2e^x-2（当且仅当y=0时，取等号），
由题意可得4xlna≤2+2e^x-2，
即有2lna≤$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$在x＞0时恒成立，
令g（x）=$\frac{1+{e}^{x-2}}{x}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x-2}（x-1）-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，即有（x-1）e^x-2=1，
令h（x）=（x-1）e^x-2，h′（x）=xe^x-2，
当x＞0时h（x）递增，
由于h（2）=1，即有（x-1）e^x-2=1的根为2，
当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，
即有x=2时，g（x）取得最小值，为1，
则有2lna≤1．∴0＜a≤$\sqrt{e}$
当x=2，y=0时，a取得最大值$\sqrt{e}$．
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键．