Question

设f（x）=（a≠0），令a₁=1，a_n+1=f（a_n），又b_n=a_n•a_n+1，n∈N^*
（1）判断数列{}是等差数列还是等比数列并证明；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得：．将其变形可得，由等差数列的定义进而得到答案．
（2）由（1）可得，．
（3）设S_n是数列{b_n}的前n项和．由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），利用分组求和的方法求出答案即可．
解答：解：（1）由a_n+1=f（a_n）可得：．
将其变形可得a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），即，
所以数列{}是首项为1，公差为的等差数列．
（2）由（1）可得，
所以，即．
所以数列{a_n}的通项公式为．
（3）设S_n是数列{b_n}的前n项和．
由（1）可得b_n=a_n•a_n+1=a（a_n-a_n+1），
所以．
所以数列{b_n}的前n项和为．
点评：解决此类问题的关键是数列掌握等差数列的通项与前n项和的公式，以及其他数列求和的方法如分组求和、错位相减、倒序相加、裂项相消等方法．