Question

设f（x）=a^x（a＞0且a≠1），g（x）为f（x）的反函数．
（1）当a=e（e为自然对数的底数）时，求函数y=f（x）-x的最小值；
（2）试证明：当f（x）与g（x）的图象的公切线为一、三象限角平分线时，a=e

1

e

．

Answer 1

分析：（1）先求导数，然后根据函数的单调性研究函数的极值点，求出f'（x）=e^x-1，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，故当x=0时，f（x）有最小值1．
（2）显见，当0＜a＜1时，一三象限角平分线不可能是f（x）与g（x）的公切线，故a＞1．再设切点为（x₀，x₀）由

ax0=x0    (1) ax0lna=1 (2)

有x₀=log_ae代入，即可求得．

解答：解：（1）由y=e^x-x有y'=e^x-1．
解e^x-1=0得x=0
显见当x＜0时，y'＜0．当x＞0时y'＞0．
故y=e^x-x在（-∞，0]单减，在（0，+∞）单增．
从而在x=0处取得极小值e°-0=1，同时也是最小值．
（2）显见，当0＜a＜1时，一三象限角平分线不可能是f（x）与g（x）的公切线，故a＞1．
设切点为（x₀，x₀）由

ax0=x0    (1) ax0lna=1 (2)

有x₀=log_ae代入 （1）
从而alogae=logae即e=log_ae．
故a^e=e．有a=e

1

e

．

点评：本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数解决切线问题，考查了划归与转化的思想，属于中档题．