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    如图，过点P（1，0）作曲线C：的切线，切点为，设点在轴上的投影是点；又过点作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是；………；依此下去，得到一系列点，设点的横坐标为.

    （1）求直线的方程；

    （2）求数列的通项公式；

    （3）记到直线的距离为，求证：时，

     

    【答案】

    （1）

    （2）

    （3）根据点到直线的距离公式来放缩得到证明。

    【解析】

    试题分析：解：（1）令，由得  1分

    即 故   2分

    ，则切线的方程为：   4分

    （2）令，则   5分

    化简得，   6分

    故数列是以2为首项2为公比的等比数列   7分

    所以    9分

    （3）由（2）知，，

    故  10分

       11分

       12

    故  14分

    考点：数列和点到直线的距离

    点评：主要是考查了数列于解析几何的综合运用，属于难度题。

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，过点P（1，0）作曲线C：y=xk（x∈（0，+∞），k∈N*，k＞1）的切线，切点为Q1，设Q1点在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列点Q1，Q2，…，Qn，…，设点Qn的横坐标为an．
    （Ⅰ）试求数列{an}的通项公式an；（用k的代数式表示）
    （Ⅱ）求证：an≥1+
    n
    k-1
    ；
    （Ⅲ）求证：
    n
    i=1
    i
    ai
    ＜k2-k    （注：
    n
    i=1
    ai=a1+a2+…+an    ）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•韶关二模）如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q1，设点Q1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列点Q1，Q2，Q3-Qn，设点Qn的横坐标为an．
    （1）求直线PQ1的方程；
    （2）求数列{an}的通项公式；
    （3）记Qn到直线PnQn+1的距离为dn，求证：n≥2时，
    1
    d1
    +
    1
    d2
    +…
    1
    dn
    ＞3．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q1，设点Q1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列点Q1，Q2，Q3-Qn，设点Qn的横坐标为an．
    （1）求直线PQ1的方程；
    （2）求数列{an}的通项公式；
    （3）记Qn到直线PnQn+1的距离为dn，求证：n≥2时，数学公式+数学公式+…数学公式＞3．

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    科目：高中数学 来源：2013年广东省韶关市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    如图，过点P（1，0）作曲线C：y=x2（x∈（0，+∞））的切线，切点为Q1，设点Q1在x轴上的投影是点P1；又过点P1作曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影是P2；…；依此下去，得到一系列点Q1，Q2，Q3-Qn，设点Qn的横坐标为an．
    （1）求直线PQ1的方程；
    （2）求数列{an}的通项公式；
    （3）记Qn到直线PnQn+1的距离为dn，求证：n≥2时，++…＞3．

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