Question

一中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆与直线x＋y＝3相交于A、B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，O是坐标原点，OC的斜率是2，求椭圆的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x0，y0)，则mx12＋ny12＝1，mx22＋ny22＝1． 　　两式相减得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 　　即2mx0·(x1－x2)＋2ny0·(y1－y2)＝0， 　　即mx0＋ny0·＝0． 　　∵＝－1，∴mx0＝ny0． 　　又∵kOC＝＝2，∴＝2，即m＝2n． 　　将y＝3－x代入方程mx2＋ny2＝1中得(m＋n)x2－6nx＋9n－1＝0． 　　∵|AB|＝2．∴由弦长公式得 　　·＝2． 　　将同m＝2n代入得n＝，∴m＝2n＝， 　　∴椭圆方程为x2＋y2＝1，即＋＝1． 　　分析一：本题既涉及弦长，又涉及弦的中点，所以可以将弦长公式与点差法综合运用而解决问题． 　　解法二：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0)，A(x1，3－x1)，B(x2，3－x2)． 　　由得C(1，2)，∴x1＋x2＝2． 　　∵|AB|＝2，∴|x1－x2|＝2，∴|x1－x2|＝2． 　　不妨设x1＞x2，则x1－x2＝2． 　　由得∴A(2，1)，B(0，3)． 　　又∵A、B在椭圆上，∴解得 　　∴椭圆方程为x2＋y2＝1，即＋＝1． 　　分析二：由直线OC与直线AB交于点C而易得出C的坐标，从而试想以中心C为突破口，求出点A、B的坐标，从而求出椭圆的方程．

提示：

评注：将椭圆方程设为mx2＋ny2＝1，既减少了计算量，又可以避免对焦点位置的讨论．在解法二中，充分利用条件，将点的坐标用尽可能少的字母来表示．