Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中AB=2，AC=AA₁=2

3

，∠ABC=

π

3

，解三角形可得AB⊥AC，故可以以A为原点，分别以AB、AC、AA₁为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，分别求出AB与A₁C的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可得到AB⊥A₁C；
（2）结合（1）的结论，分别求出平面AA₁C与平面A₁CB的法向量，代入向量夹角公式，即可出二面角A-A₁C-B的正弦值．

解答：解：（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得sin∠ACB=

1

2

?∠ACB=

π

6

∴AB⊥AC
以A为原点，分别以AB、AC、AA₁为
x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图
则A（0，0，0）A1( 0 ， 0 ， 2

3

 )B（2，0，0）C( 0 ， 2

3

 ， 0 )

AB

=( 2 ， 0 ， 0 )

A1C

=( 0 ， 2

3

 ， -2

3

 )

AB

•

A1C

=0?

AB

⊥

A1C

即AB⊥A₁C．
（2）由（1）知

A1B

=( 2 ， 0 ， -2

3

 )
设二面角A-A₁C-B的平面角为α，cosα=cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

2 3

2× 5

=

15

5

∴sinα=

1-cos2α

=

10

5

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，用向量语言表述线线的垂直、平行关系，其中向量法是解答和证明立体几何平行、垂直关系及夹角常用的方法，建立适当的坐标系，求出相应直线的方向向量及平面的法向量是解答的关键．