Question

已知是中心在坐标原点的椭圆的一个焦点，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设：、为椭圆上不同的点，直线的斜率为；是满足（）的点，且直线的斜率为．

①求的值；

②若的坐标为，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先根据题中的已知条件以及、、三者之间的关系求出、、的值，从而确定椭圆的方程；（Ⅱ）①解法一是利用斜率公式先将、利用点和的坐标进行表示，然后借助点差法求出的值；解法二是将直线的方程假设出来，借助韦达定理与这一条件确定与之间的关系，进而从相关等式中求出的值；②先确定直线的斜率，然后假设直线的方程为，利用韦达定理确定与之间的等量关系，再利用直线与椭圆有两个不同的公共点结合确定实数的取值范围，进而得到实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）依题意，可设椭圆的方程为（），      1分

由，，得，

由，可得，      3分

故椭圆的方程为．      4分

（Ⅱ）解法一：①由、且存在，得，      5分

由，且存在，得，

则.      6分

∵，在椭圆上，∴，，   7分

两式相减得，，

∴．      8分

②若的坐标为，则，由①可得.

设直线（），

由得，      9分

所以.

∵，∴，.      10分

又由，解得，      11分

∴且．      12分

解法二：①设直线（），

若，则

由满足（，），得，

∵直线的斜率存在，∴.      5分

由得  (*).     6分

∵、，∴.     7分

∵，满足，

∴直线的斜率，

  经化简得.      9分

②若的坐标为，则，由①可得.     10分

∴方程(*)可化为，

           下同解法一.

考点：椭圆方程、点差法、直线与圆锥曲线的位置关系