Question

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线l平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点．
（1）求椭圆方程；
（2）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，利用长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）设l方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及∠AOB为钝角，结合向量知识，即可求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（3）依题即证k_AM+k_BM=0，利用韦达定理代入，即可证得结论．

解答：（1）解：设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，依题意可得

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

…2分
可得

a2=8 b2=2

，所以椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1….4分
（2）解：设l方程为：y=

1

2

x+m，与椭圆方程联立得：x²+2mx+2m²-4=0
由韦达定理得：x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4…6分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为∠AOB为钝角，所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(

1

2

x1+m)(

1

2

x2+m)
=

5

4

x1x2+

m

2

(x1+x2)+m2=

5

2

m2-5＜0…7分
又直线l平行OM，∴m∈(-

2

，0)∪(0，

2

)….8分
（3）证明：依题即证k_AM+k_BM=0…9分
而kAM+kBM=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(x1-2)(y2-1)

(x1-2)(x2-2)

..…10分
将y1=

1

2

x1+m，y2=

1

2

x2+m代入上式，得kAM+kBM=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

….12分
将（2）中韦达定理代入得，上式=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
即证．…14分

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．