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已知椭圆中心在坐标原点O,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍,且经过点M(2,1),直线l平行OM,且与椭圆交于A、B两个不同的点.
(1)求椭圆方程;
(2)若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围;
(3)求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形.

(1)解:设椭圆方程,依题意可得…2分
可得,所以椭圆方程为….4分
(2)解:设l方程为:,与椭圆方程联立得:x2+2mx+2m2-4=0
由韦达定理得:x1+x2=-2m,…6分
设A(x1,y1),B(x2,y2),
因为∠AOB为钝角,所以
==…7分
又直线l平行OM,∴….8分
(3)证明:依题即证kAM+kBM=0…9分
..…10分
代入上式,得….12分
将(2)中韦达定理代入得,上式==0
即证.…14分
分析:(1)设椭圆方程,利用长轴长是短轴长的2倍,且经过点M(2,1),建立方程组,即可求得椭圆方程;
(2)设l方程与椭圆方程联立,利用韦达定理及∠AOB为钝角,结合向量知识,即可求直线l在y轴上的截距m的取值范围;
(3)依题即证kAM+kBM=0,利用韦达定理代入,即可证得结论.
点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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