Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，对于任意n≥1时，3S_n=a_n+4
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=2S_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）数列{a_n}中，前n项和为S_n，对于任意n≥1时，3S_n=a_n+4，故当n≥2时，3s_n-1=a_n-1+4，
相减可得3a_n=a_n-a_n-1，化简可得 a_n=- a_n-1，故数列{a_n}是以-为公比的等比数列．
在3S_n=a_n+4中，令n=1可得 a₁=2，
∴a_n=2q^n-1=（-1）^n-1 2^2-n．
（2）若数列{b_n}满足b_n=2S_n =2×=[1-]
则当n为偶数时，数列{b_n}的前n项和T_n =n+[1+]+[1-]+[1+]+[1-]…=n++=．
则当n为奇数时，数列{b_n}的前n项和T_n =+[1+]+[1-]+[1+]+[1-]…=n++=-．
分析：（1）数列{a_n}中，对于任意n≥1时，3S_n=a_n+4，故当n≥2时，3s_n-1=a_n-1+4，相减并化简可得a_n=- a_n-1，故数列{a_n}是以-为公比的等比数列，由此求得数列{a_n}的通项公式．
（2）若数列{b_n}满足b_n=2S_n =[1-]，分n为偶数和n为奇数两种情况分别求出数列{b_n}的前n项和T_n 的值．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式的应用，数列的前n项的和与第n项的关系，由递推关系求通项，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．