Question

设函数f(x)=log2

2x-1

2x+1

(x＜-

1

2

或x＞

1

2

)．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）写出函数g(x)=log2

2x+1

2x+3

图象的一个对称中心．

Answer 1

分析：（1）根据已知中函数的解析式及定义域，我们只要根据对数的运算性质求出f（-x）的解析式，与f（x）比较后可得f（x）是奇函数；
（2）根据复合函数单调性的求出，我们分别确定u=1-

2

2x+1

和y=log₂u，进而根据同增异减的原则，可以分析出f（x）的单调区间；
（3）根据函数f（x）与函数g（x）解析式的关系，易得函数g(x)=log2

2x+1

2x+3

=log2

2(x+1)-1

2(x+1)+1

的图象是由f（x）图象向左平移一个单位得到的，结合（1）中结论可得函数g（x）图象的对称中心．

解答：解：（1）∵函数f(x)=log2

2x-1

2x+1

(x＜-

1

2

或x＞

1

2

)
且f(-x)=log2

-2x-1

-2x+1

=log2

2x+1

2x-1

=log2(

2x-1

2x+1

)-1=-log2

2x-1

2x+1

=-f（x）
即f（x）是奇函数；（4分）
（2））∵函数f(x)=log2

2x-1

2x+1

=log2(1-

2

2x+1

)
∵在(-∞，-

1

2

)上u=1-

2

2x+1

为增函数，y=log₂u也为增函数
∴(-∞，-

1

2

)是函数f(x)=log2

2x-1

2x+1

的单调递增区间
又∵奇函数在对称区间上单调性相同
∴(

1

2

，+∞)也是函数f(x)=log2

2x-1

2x+1

的单调递增区间…（6分）
（3）由（1）中f（x）是奇函数
故f（x）图象的对称中心为原点（0，0）
∵函数g(x)=log2

2x+1

2x+3

=log2

2(x+1)-1

2(x+1)+1

的图象是由f（x）图象向左平移一个单位得到的
故函数g(x)=log2

2x+1

2x+3

图象的对称中心为（-1，0）…（4分）

点评：本题是函数奇偶性的证明，函数单调区间的求法，及函数图象平移的综合应用，其中（1）（2）的关键是熟练掌握判定函数奇偶性及单调性的方法，（3）的关键是分析出两个函数图象之间的位置关系．