Question

定义在R上的偶函数R满足，x＞0时，f（x）=x+

4

x

．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）上递减．

Answer 1

分析：（1）利用所求函数的区间与已知区间是对称的，再结合奇偶性求解；（2）利用定义判断函数的单调性．

解答：解：（1）当x＜0时，-x＞0，
因为x＞0时，f(x)=x+

4

x

，
所以 f(-x)=-x-

4

x

，
因为该函数是偶函数，所以f(x)=-x-

4

x

．
（2）任取x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
所以f(x1)-f(x2)=-x1-

4

x1

+x2+

4

x2

=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
因为0＜x₁＜x₂＜2，
所以4＞x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函数f（x）在区间（0，2）上递减．

点评：本题考察利用函数奇偶性求函数解析式和函数单调性的判断，属基础题．