Question

已知双曲线

x2

2

-y2=1，过点P（0，1）作斜率k＜0的直线l与双曲线恰有一个交点．
（1）求直线l的方程；
（2）若点M在直线l与x≥0，y≥0所围成的三角形的三条边上及三角形内运动，求z=-x+y的最小值．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是直线的一般式方程，及简单的线性规划，（1）由过点P（0，1）作斜率k＜0的直线l与双曲线

x2

2

-y2=1恰有一个交点．联立直线与双曲线的方程，则易得到直线的斜率，代入即可得到直线的方程．（2）我们画出直线l与x≥0，y≥0所围成的三角形，求出三角形的各个顶点，代入即可得到目标函数z=-x+y的最小值．

解答：解：（1）由于直线l过P（0，1）点，
设直线l的方程为：y=kx+1（k＜0）
将直线方程代入双曲线方程

x2

2

-y2=1得：
（

1

2

-k²）x²-2kx-2=0①
由直线l与双曲线恰有一个交点，则方程①的△=0
即4k²+8（

1

2

-k²）=0
解得k=-1
∴直线l的方程为：y=-x+1
即：x+y-1=0
（2）直线l与x≥0，y≥0所围成的三角形如下图示：

由图可知：当经x=1，y=0时，目标函数z=-x+y有最小值-1

点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．