Question

已知双曲线

x2

2

-

y2

b2

=1(b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，其一条渐近线方程为y=x，点P(

3

，y0)在双曲线上、则

PF1

•

PF2

=（　　）

• A、-12
• B、-2
• C、0
• D、4

Answer 1

分析：由双曲线的渐近线方程，不难给出a，b的关系，代入即可求出双曲线的标准方程，进而可以求出F₁、F₂，及P点坐标，求出向量坐标后代入向量内积公式即可求解．

解答：解：由渐近线方程为y=x知双曲线是等轴双曲线，
∴双曲线方程是x²-y²=2，
于是两焦点坐标分别是F₁（-2，0）和F₂（2，0），
且P(

3

，1)或P(

3

，-1)、
不妨令P(

3

，1)，
则

PF1

=(-2-

3

，-1)，

PF2

=(2-

3

，-1)
∴

PF1

•

PF2

=(-2-

3

，-1)(2-

3

，-1)=-(2+

3

)(2-

3

)+1=0
故选C

点评：本题考查的知识点是双曲线的简单性质和平面向量的数量积运算，处理的关键是熟练掌握双曲线的性质（顶点、焦点、渐近线、实轴、虚轴等与 a，b，c的关系），求出满足条件的向量的坐标后，再转化为平面向量的数量积运算．