Question

设圆x²+（y-1）²=1的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为

3+ 5

2

．

Answer 1

分析：设直线l在x轴与y轴上的截距分别为a、b，得到直线l的截距式．根据l与已知圆相切利用点到直线的距离公式，建立关于a、b的等式，化简得出a²=

b

b-2

，由此算出AB²=

b

b-2

+b2．设F（b）=

b

b-2

+b2，利用导数研究F（b）的单调性，得出当b=

3+ 5

2

时F（b）=AB²有最小值，由此即可得到答案．

解答：解：设直线l与坐标轴的交点分别为A（a，0），B（0，b），可得a＞1且b＞2．
则直线l：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0．
∵直线l与圆x²+（y-1）²=1相切，
∴圆心（0，1）到直线l的距离等于半径，即

|a-ab|

a2+b2

=1，化简得a²=

b

b-2

，
因此，AB²=a²+b²=

b

b-2

+b2，
设F（b）=

b

b-2

+b2，求导数得F'（b）=

-2

(b-2)2

+2b =

2(b-1)(b2-3b+1)

(b-2)2

，其中（b＞2）
若F'（b）=0，可得b=

3+ 5

2

（另外两根小于2，舍去），
∵b∈（2，

3+ 5

2

）时，F'（b）＜0；b∈（

3+ 5

2

，+∞）时F'（b）＞0．
∴F（b）在（2，

3+ 5

2

）上单调递减；在（

3+ 5

2

，+∞）单调递增．
因此，当b=

3+ 5

2

时，AB²有最小值，此时a²=

b

b-2

=

5

+2，得a=

5 +2

．
即当AB取最小值时，切线l在y轴上的截距为

3+ 5

2

．

点评：本题给出动直线与定圆相切，求直线在两坐标轴上交点间的距离的最小值．着重考查了直线的基本量与基本形式、直线与圆的位置关系利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题．