Question

设命题p：方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示双曲线，命题q：圆x²+（y-1）²=9与圆（x-a）²+（y+1）²=16相交．若“￢p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由于“￢p且q”为真命题，则￢p为真命题，q也为真命题，亦即p为假命题，q为真命题．由于方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示双曲线，则（a+6）（a-7）＜0，所以p为假命题即是（a+6）（a-7）≥0；若q为真命题，则两圆心距大于两半径差的绝对值小于两半径之和，故1＜

a2+4

＜7．求出它们的交集即可．

解答：解：若p真，即方程

x2

a+6

+

y2

a-7

=1表示双曲线，
则（a+6）（a-7）＜0，∴-6＜a＜7．                
若q真，即圆x²+（y-1）²=9与圆（x-a）²+（y+1）²=16相交，
则1＜

a2+4

＜7，∴-3

5

＜a＜3

5

．                
若“?p且q”为真命题，则p假q真，
∴

a≤-6或a≥7 -3 5 ＜a＜3 5

，即-3

5

＜a≤-6，
∴符合条件的实数a的取值范围是-3

5

＜a≤-6．

点评：本题考查的是与复合命题的真假判定有关的参数问题，解决的办法是先判断出组成复合命题的简单命题的真假，再求出相应的参数的取值范围即可；此类题是简单逻辑用语的经典题型，要切实掌握好．