Question

已知椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），离心率e=，上焦点到直线y=的距离为，直线l与y轴交于一点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B且=t．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若+t=4，求m的取值范围•

Answer 1

解：（1）∵椭圆离心率e=，焦点到直线y=的距离为，
∴
∴a=1，c=
∴
∴椭圆C的方程为；
（2）∵=t，∴（1+t）=+t
∵+t=4，∴1+t=4，∴t=3
设直线l与椭圆交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0①，x₁+x₂=，x₁x₂=
∵=3，∴-x₁=3x₂，∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3
∴3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
∴3（）²+4×=0
∴4k²m²+2m²-k²-2=0
时，上述式子不成立，时，
∵t=3，∴k≠0，∴
∴或
经检验符合①式
即所求m的取值范围为（-1，-）∪（，1）．
分析：（1）根据椭圆离心率e=，焦点到直线y=的距离为，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C的方程；
（2）先确定t=3，再将直线y=kx+m代入椭圆方程，利用韦达定理，建立等式关系，从而可得，由此可求m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．