Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量

b

=（

3

，-1）
（1）当

a

∥

b

，求θ．
（2）当

a

⊥

b

时，求θ．
（3）求|2

a

-

b

|的最大和最小值．

Answer 1

分析：（1）由

a

∥

b

得，cosθ×（-1）-

3

sinθ=0，可求tanθ，结合角的范围可求；
（2）由

a

⊥

b

得，

a

•

b

=0，即

3

cosθ-sinθ=0，可求tanθ，结合角的范围可求；
（3）表示出|2

a

-

b

|，利用三角恒等变换可进行化简，由角的范围及正弦性质可求；

解答：解：（1）由

a

∥

b

得，cosθ×（-1）-

3

sinθ=0，则tanθ=-

3

3

，
又θ∈[0，π]，所以θ=

5π

6

；
（2）由

a

⊥

b

得，

a

•

b

=0，即

3

cosθ-sinθ=0，所以tanθ=

3

，
又θ∈[0，π]，所以θ=

π

3

；
（3）2

a

-

b

=（2cosθ-

3

，2sinθ+1），
则|2

a

-

b

|=

(2cosθ- 3 )2+(2sinθ+1)2

=

8-4 3 cosθ+4sinθ

=

8+8sin(θ- π 3 )

，
由θ∈[0，π]，得θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
所以sin（θ-

π

3

）∈[-

3

2

，1]，所以8+8sin（θ-

π

3

）∈[8-4

3

，16]，
|2

a

-

b

|∈[

6

-

2

，4]，
故|2

a

-

b

|的最大值为4，最小值为

6

-

2

．

点评：本题考查平面向量共线的条件、垂直的条件及数量积运算，考查三角函数的运算等知识，知识点较多，需要全面掌握有关知识．