Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均等于1，且∠A₁AB=∠A₁AC=60°，则该斜三棱柱的全面积是________．

Answer 1

1+
分析：利用直线与平面垂直的判定与性质，结合∠A₁AB=∠A₁AC可证出四边形BB₁C₁C是矩形，从而得到四边形BB₁C₁C的面积．再利用平行四边形面积公式算出平行四边形AA₁B₁B和平行四边形AA₁C₁C面积，利用等边三角形面积公式算出△ABC和△A₁B₁C₁面积，将所得的面积相加即得该斜三棱柱的全面积．
解答：∵斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠A₁AB=∠A₁AC=60°，
∴A₁A在平面ABC内的射影是∠BAC的角平分线
作A₁H⊥平面ABC，延长AH交BC于D
∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴AD⊥BC
∵A₁H⊥BC，AD∩A₁H=H，∴BC⊥平面AA₁H
∵AA₁?平面AA₁H，
∴AA₁⊥BC，结合AA₁∥BB₁，得BB₁⊥BC
因此，四边形BB₁C₁C是矩形
∵平行四边形AA₁B₁B中，∠A₁AB=60°，AA₁=AB=1
∴S_{平行四边形AA1B1B}=AA₁×ABsin60°=，同理可得S_{平行四边形AA1C1C}=
∵△ABC和△A₁B₁C₁都是边长为1的等边三角形，
∴S_△ABC=S_△A1B1C1=
又∵S_矩形BB1C1C=BB₁×BC=1
∴该斜三棱柱的全面积是
S_{平行四边形AA1B1B}+S_{平行四边形AA1C1C}+S_矩形BB1C1C+S_△ABC+S_△A1B1C1=1+
故答案为：1+
点评：本题给出特殊的斜三棱柱，求它的全面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、平行四边形面积公式和三角形面积公式等知识，属于基础题．