Question

11．已知f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-π≤φ≤0）为R上的偶函数，且图象中相邻对称轴与对称中心的距离为π
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的对称轴方程及对称中心坐标．

Answer 1

分析 （I）函数是偶函数，求出ϕ，利用图象上相邻两对称轴之间的距离为π，求出ω，即可求得函数f（x）的表达式．
（Ⅱ）由$\frac{1}{2}$x=kπ，k∈Z可解得f（x）的对称轴方程；由$\frac{1}{2}$x=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的对称中心坐标．

解答 解：（I）∵f（x）为偶函数，
∴sin（-ωx+φ）=sin（ωx+φ），
即2sinωxcosφ=0恒成立，
∴cosφ=0，
又∵0≤φ≤π，∴φ=$\frac{π}{2}$．（3分）
又图象中相邻对称轴与对称中心的距离为π，
∴T=4π=$\frac{2π}{ω}$，∴ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{2}$）=cos$\frac{1}{2}$x．（6分）
（Ⅱ）由$\frac{1}{2}$x=kπ，k∈Z可解得f（x）的对称轴方程为：x=2kπ，k∈Z；
由$\frac{1}{2}$x=kπ$+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的对称中心坐标为：（2kπ+π，0），k∈Z（10分）

点评 本题考查三角函数的周期性及其求法，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象和性质及计算能力，属于中档题．