Question

在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥B-AEF，如图所示．
（Ⅰ）在三棱锥B-AEF中，求证：AB⊥EF；
（Ⅱ）求四棱锥E-AMNF的体积．

Answer 1

（I）证明：在三棱锥B-AEF中，
因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，
所以AB⊥平面BEF．…..（3分）
又EF?平面BEF，
所以AB⊥EF．…..（6分）
（II）解：因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，
所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的．…..（8分）
又三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，
所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的，
因为V_E-ABF=V_A-BEF，
所以．…..（10分）
因为，
所以，
故四棱锥E-AMNF的体积为．…..（13分）
分析：（I）在三棱锥B-AEF中，因为AB⊥BE，AB⊥BF，BE∩BF=B，所以AB⊥平面BEF．由此能够证明AB⊥EF．
（II）因为在△ABF中，M、N分别为AB、BF的中点，所以四边形AMNF的面积是△ABF面积的．因为三棱锥E-ABF与四棱锥E-AMNF的高相等，所以，四棱锥E-AMNF的体积是三棱锥E-ABF的体积的，因为V_E-ABF=V_A-BEF，所以．由此能够求出四棱锥E-AMNF的体积．
点评：本题考查在三棱锥B-AEF中，求证AB⊥EF，求四棱锥E-AMNF的体积．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．