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((本题满分14分)

已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点  在直线上。

(1)求椭圆的标准方程

(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;

(3)设F是椭圆的右焦点,过点FOM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值。

 

【答案】

 

【解析】(1)又由点M在准线上,得             ……………2分

    从而                          

所以椭圆方程为                                     ……………4分

(2)以OM为直径的圆的方程为

                                

其圆心为,半径                                 ……………6分

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离             ……………8分

所以,解得

所求圆的方程为                           ……………10分

(3)方法一:由平几知:

直线OM:,直线FN:                    ……………12分

所以线段ON的长为定值。                                 ……………14分

方法二、设,则 

               ……………12分

所以,为定值                         ……………14分

 

【解析】略

 

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(本题满分14分
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π
3
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x=2cosα
y=1+cos2α
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