(07年福建卷文)(本小题满分12分)
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.
(I)求证:AB1⊥平面A1BD;
(II)求二面角A-A1D-B的大小.
本小题主要考查直线与平面的位置关系,三面角的大小等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力
解析:解法一:(I)取BC中点O,连结AO.
∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
连结B1O,在正方形BB1C1C中,O、D分别为BC、CC1的中点,
∴B1O⊥BD,
∴AB1⊥BD.
在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,
∴AB1⊥平面A1BD.
(II)设AB1与A1B交于点C,在平面A1BD中,作GF⊥A1D于F,连结AF,由(I)得AB1⊥平面A1BD,
∴∠AFG为二面A-A1B-B的平面角.
在△AA1D中,由等面积法可求得AF=,
又∵AG==,
∴sin∠AFG=,
所以二面角A-A1D-B的大小为arcsin.
解法二:
(I)取BC中点O,连结AO.
∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1中点O1,以a为原点,的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D (-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0),
∴
∵
∴⊥⊥,
∴AB1⊥平面A1BD.
(II)设平面A1AD的法向量为n=(x,y,z).
∵n⊥⊥,
∴ ∵ ∴
令z=1得a=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.
由(I)知AB1⊥A1BD.
∴为平面A1BD的法向量.
cos<n1>===-.
∴二面角A-A1D-B的大小为arccos.
科目:高中数学 来源: 题型:
(07年福建卷文)(本小题满分12分)
数列{an}的前N项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn (n∈N*).
(I)求数列{an}的通项an;
(II)求数列{nan}的前n项和 Tn .
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科目:高中数学 来源: 题型:
(07年福建卷文)(本小题满分12分)
设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t>0).
(I)求f (x)的最小值h(t);
(II)若h(t)<-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
(07年福建卷文)(本小题满分12分)
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:
(I)甲试跳三次,第三次才能成功的概率;
(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;
(III)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.
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