Question

（07年福建卷文）（本小题满分12分）

甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
 （I）甲试跳三次，第三次才能成功的概率;

(II)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;

(III)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

Answer 1

本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力.

解析：记“甲第i次试跳成功”为事件A₁，“乙第i次试跳成功”为事件B₁.

依题意得P（A₁）＝0.7，P（B₁）＝0.6，且A₁B₁（i=1,2,3）相互独立.

(I)“甲第三次试跳才成功”为事件A₃，且三次试跳相互独立，

∴P（A₃）＝P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063.

答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063.

(II)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，

解法一：C＝A₁彼此互斥，

∴P（C）

         ＝

               ＝0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6

=  0.88.

解法二：P（C）＝1-＝1-0.3×0.4=0.88.

答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.

（III）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M_i（i=0,1,2）,

“乙在两次试跳中成功i次”为事件N_i(i=0,1,2),

∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M₁N₀+M₂N₁,且M₁N₀、M₂N₁为互斥事件.

∴所求的概率为

＝×0.7×0.3×0.4²+0.7²××0.6×0.4

=0.0672+0.2352

=0.3024.

答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024.