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    已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,- ).

    (1)求双曲线的方程.

    (2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.

    (3)求△F1MF2的面积.

      


    1)∵e=,

    ∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).

    ∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

    ∴双曲线方程为x2-y2=6.

    (2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,

    ∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).

    ∴=,=,

    ·==-.

    ∵点M(3,m)在双曲线上,

    ∴9-m2=6,m2=3.

    故·=-1,∴MF1⊥MF2.

    ∴·=0.

    方法二:∵=(-3-2,-m),

    =(2-3,-m),

    ∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.

    ∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.

    (3)△F1MF2的底|F1F2|=4,

    △F1MF2的边F1F2的高h=|m|=,∴=6.∵M(3,m)在双曲线上,


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