Question

若向量

a

=（sin（α+

π

6

），1），

b

=（4，4cosα-

3

），且

a

⊥

b

，则sin（α+

4π

3

）等于

-

1

4

．

Answer 1

分析：利用向量垂直的坐标运算可求得sin（α+

π

3

）=

1

4

，再利用诱导公式即可求得sin（α+

4π

3

）．

解答：解：∵向量

a

=（sin（α+

π

6

），1），

b

=（4，4cosα-

3

），且

a

⊥

b

，
∴4sin（α+

π

6

）+4cosα-

3

=0，
∴4（

3

2

sinα+

1

2

cosα）+）+4cosα=

3

，
∴2

3

sinα+6cosα=

3

，
∴4

3

（

1

2

sinα+

3

2

cosα）=

3

，
∴sin（α+

π

3

）=

1

4

，
∴sin（α+

4π

3

）=sin[（α+

π

3

）+π]=-sin（α+

π

3

）=-

1

4

，
故答案为：-

1

4

．

点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查两角和与差的正弦函数及诱导公式，属于中档题．