Question

已知一次函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称的图象为C，且f（1）=0，若点A(n ，

an+1

an

)（n∈N^*）在C上，a₁=1，当n≥2时，

an+1

an

-

an

an-1

=1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Sn=

a1

3!

+

a2

4!

+

a3

5!

+…+

an

(n+2)!

，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（1）依题意C过点（0，1），所以设C方程为y=kx+1，由条件推出k=1，

an+1

an

=n+1，从而推出

an

an-1

=n，

an-1

an-2

=n-1，…，

a2

a1

=2，且a₁=1，各式相乘得a_n的解析式．
（2）化简S_n中的通项为

1

n+1

-

1

n+2

，代入S_n 的表达式化简为

1

2

-

1

n+2

，从而求出

lim

n→∞

Sn的值．

解答：解：（1）依题意C过点（0，1），所以设C方程为y=kx+1．
因为点A(n ， 

an+1

an

)（n∈N^*）在C上，所以

an+1

an

=kn+1，
代入

an+1

an

-

an

an-1

=1，得k=1，故

an+1

an

=n+1．
∴

an

an-1

=n，

an-1

an-2

=n-1，…，

a2

a1

=2，且a₁=1，
各式相乘得a_n=n!．
（2）∵

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Sn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
∴

lim

n→∞

Sn=

1

2

．

点评：本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，用裂项法进行数列求和，求数列的极限，属于中档题．