Question

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为x₁，x₂．
（Ⅰ）若x₁=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，x₂=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，求2α+β的值；
（Ⅱ）若x₁=$\frac{3}{5}$，若角-β终边与单位圆交于C点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=0，求sin（α+β）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα、cosβ 的值，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得cos2α、sin2α、sinβ 的值，从而求得 cos（2α+β）的值，进而求得2α+β的值．
（Ⅱ）由条件求得$\overrightarrow{OA}$的坐标，结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=0求得$\overrightarrow{OC}$ 的坐标，可得α、β的正弦值和余弦值，再根据sin（α+β）的值求得α+β的值．

解答 解：（Ⅰ）若x₁=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，x₂=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，则cosα=x₁=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，cosβ=x₂=$\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$，
∴cos2α=2cos²α-1=$\frac{4}{5}$，sin2α=2sinαcosα=2$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$cosα=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴cos（2α+β）=cos2αcosβ-sin2αsinβ=$\frac{4}{5}$×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$-$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴2α+β=$\frac{π}{4}$．
（Ⅱ）若x₁=$\frac{3}{5}$，则cosα=x₁=$\frac{3}{5}$，sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{4}{5}$，即$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
若角-β终边与单位圆交于C点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=0，则$\overrightarrow{OC}$=（$\frac{4}{5}$，-$\frac{3}{5}$），即cos（-β）=cosβ=$\frac{4}{5}$，
sin（-β）=-sinβ=-$\frac{3}{5}$，即sinβ=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{4}{5}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=1．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．