Question

17．过抛物线y²=px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=4．

Answer 1

分析 设出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而利用利用弦长公式表示出AB的长，即可求得p．

解答 解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x-$\frac{p}{4}$，代入抛物线y²=px，
消去y可得x²-$\frac{3}{2}$px+$\frac{{p}^{2}}{16}$=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∴x₁+x₂=$\frac{3}{2}$p，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{16}$
∴|AB|=x₁+x₂+$\frac{p}{2}$=2p=8
解得p=4，
故答案为：4．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．