Question

7．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2a_n+1=2a_n+p（p为常数，n∈N^*）．
（Ⅰ）若S₃=6，求S_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是等比数列，求实数p的值．

Answer 1

分析 （I）由a₁=1，2a_n+1=2a_n+p（p为常数，n∈N^*）．可得2a₂=2a₁+p=2+p，化为a₂=1+$\frac{p}{2}$．同理可得：a₃=1+p．
根据S₃=6，解得p=2．于是2a_n+1=2a_n+2，化为a_n+1-a_n=1．利用等差数列的前n项和公式可得S_n．
（II）由于数列{a_n}是等比数列，可得${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，解得p=0．

解答 解：（I）∵a₁=1，2a_n+1=2a_n+p（p为常数，n∈N^*）．
∴2a₂=2a₁+p=2+p，化为a₂=1+$\frac{p}{2}$．
2a₃=2a₂+p，化为a₃=1+p．
∵S₃=6，
∴1+1+$\frac{p}{2}$+1+p=6，解得p=2．
∴2a_n+1=2a_n+2，化为a_n+1-a_n=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}×1$=$\frac{{n}^{2}+n}{2}$．
（II）∵数列{a_n}是等比数列，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁a₃，∴$（1+\frac{p}{2}）^{2}$=1×（1+p），解得p=0．
可得2a_n+1=2a_n+0，可得a_n+1=a_n=…=a₁=1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项与公比都为1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．