Question

16．已知抛物线C：x²=2y的焦点为F，P为抛物线C上的任意一点，点M（-2，3），则|MP|+|PF|的最小值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|MP|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，M三点共线时|MP|+|PD|最小，答案可得．

解答 解：抛物线C：x²=2y的准线为y=-$\frac{1}{2}$．
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，
要求|MP|+|PF|取得最小值，即求|MP|+|PD|取得最小．
当D，P，M三点共线时，|MP|+|PD|最小，为3-（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，M三点共线时，|MP|+|PD|最小是解题的关键．