Question

【题目】已知实数λ＞0，设函数f（x）=eλx﹣ ．
（Ⅰ）当λ=1时，求函数g（x）=f（x）+lnx﹣x的极值；
（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥0恒成立，求λ的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）λ=1时，g（x）=ex﹣x，g′（x）=ex﹣1，

令g′（x）＜0，解得：x＜0，令g′（x）＞0，解得：x＞0，

故g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，

故g（x）无极大值，极小值是g（0）=1；

（Ⅱ）当0＜x≤1时，易知不等式eλx﹣ ≥0恒成立，

x＞1时，由题设得不等式λeλx≥lnx，即λxeλx≥lnxelnx（*）恒成立，

设φ（t）=tet（t＞0），

则由φ′（t）=et（1+t）＞0，

知φ（t）在（0，+∞）递增，

于是，x＞1时，由（*）知φ（λx）≥φ（lnx），

即λ≥ 在（1，+∞）恒成立，

故所求λ的最小值即为函数p（x）= （x＞1）的最大值，

∵p′（x）= ，故1＜x＜e时，p′（x）＞0，p（x）递增，

x＞e时，p′（x）＜0，函数p（x）递减，

综上，λmin=p（x）max=p（e）=

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）进行参变分离将问题转化为λ≥ 在（1，+∞）恒成立，所求λ的最小值即为函数P（x）的最大值，根据函数的单调性求出λ的最小值即可.
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值即可以解答此题．